ریاضیدانان در برخورد با مسایل، افراد بدبینی هستند. به طورکلی، آن‌ها برای حل سوالات ریاضی، به بسیاری از روش‌ها، از جمله آزمایش با مثال، رسم شکل، آزمون و خطا و حدس و گمان، اطمینان ندارند و جواب بدست آمده از این روش‌ها را صحیح نمی‌دانند، مگر اینکه بتوانند آن سوال را با روش‌های علمی ثابت کنند. احتمالاً، قبلاً برخی از اثبات‌های ریاضی را دیده‌اید، اما ممکن است خودتان تجربه نوشتن آن‌ها را نداشته باشید. در این کتاب مقدمه‌ای بر اثبات شما اطلاعات بیشتری در مورد چگونگی جمع‌آوری دلایل کافی برای اثبات یک مسئله ریاضی و روش‌های اثبات آن کسب خواهید کرد.
در کتاب مقدمه‌ای بر اثبات ما در مورد روش‌های مختلف نوشتن اثبات که ریاضیدانان بیشتر از همه استفاده می‌کنند بحث خواهیم کرد و نحوه استفاده از آن‌ها را برای شروع نوشتن یک اثبات توضیح خواهیم داد. یادگیری این روش‌ها، به شما کمک می‌کند تا اثبات نوشته شده توسط افراد دیگر را بخوانید و درک کنید. متأسفانه، روش‌های این فصل روش گام به گام برای اثبات هر مسئله را ارائه نمی‌دهد. هنگام تلاش برای نوشتن اثبات، ممکن است قبل از یافتن راه‌حل درست برای ادامه کار، چند روش نادرست را انجام دهید، که طبیعی است! برخی از اثبات‌ها نیز نیاز به زیرکی و بصیرت دارند. با تمرین بسیار، مهارت‌های نوشتن اثبات شما بهبود می‌یابد و شما می‌توانید با اثبات‌های چالش برانگیزتر مقابله کنید.
درک شهودی
انسان از بدو تولد نسبت به محيط اطراف خويش كنجکاو بوده و تلاش كرده است كه مسائل پيچيده و بغرنج زندگي خود را حل كند. روش‌هايي كه انسان برای پاسخ دادن به سوال‌هاي خود انتخاب كرده، متفاوت و متنوع بوده است. منابعي كه انسان به كمك آن‌ها بر مسائل خود چيره گشته است، عبارتند از:
- تجربه
- استدلال تمثیلی
- استدلال استقرايي
- استدلال علمي
- استدلال قياسي
تجربه ابتدايي‌ترين راهي است كه انسان براي حل مسائل خود از آن استفاده كرده و توانسته است که قسمت عمده‌اي از معرفت خود را به ديگران منتقل كند.
یکی از نخستین کسانی که شهود را به معنای امروزی آن به‌کار برده، کارل گوستاو یونگ است. او در سال ۱۹۳۳ درک شهودی را به صورت یک کارکرد روانشناختی که به روشی ناخودآگاه، اطلاعات دریافتی انسان‌ها را پردازش می‌کند، توصیف کرده است.
امروزه درک شهودی را نوعی نتیجه‌گیری ذهنی می‌دانند که فرد تصمیم‌گیرنده بر اساس تجربیات و هیجانات گذشته‌ی خود به آن می‌رسد. بنابراین، برای درک شهودی نیاز به کسب تجربه است.
شـهود باعث ایجاد نقطه‌نظرات، ادراکات، قضـاوت‌ها و باورهایی می‌شود که به صورت تجربی غیر قابل تایید، و به لحاظ عقلانی غیر قابل توجیه‌اند. می‌توانیم بگوییم که درک شهودی یک دانش فطری یا غریزی است که استدلال در آن نقشی ندارد.
مثال1.5 در ذیل به نمونه‌هایی از درک شهودی که در دنیای واقعی وجود دارد، اشاره می‌کنیم:
- پی بردن به وجود آتش با دیدن دود
- پی بردن به وجود اشخاص یا حیوانات با دیدن رد پاها یا شنیدن صداها
- پی بردن به نیاز نوزادان و کودکان با شنیدن صدای گریه‌ی آن‌ها
- پی بردن به زمان اقامه‌ی نماز با شنیدن صدای اذان از بلندگوی مساجد
- پی بردن به عزاداری و فوت افراد با دیدن لباس سیاه
- پی بردن به میزان زبری اشیاء با لمس کردن آن‌ها
- پی بردن به میزان بارندگی و بارش برف با دیدن نوع ابرها در آسمان
- پی بردن به ملیت یک فرد با دیدن نوع پوشش او
مثال2.5 طی قرن‌های متمادی، مردم باور کرده بودند که زمین صاف است و ستاره‌ها به دور آن می‌چرخند. آن‌ها نظریه‌ی گرد بودن زمین و چرخش آن به دور خورشید را رد می‌کردند؛ اگرچه امروزه این نظریه حتی برای خردسالان نیز امری کم و بیش واضح است، لیکن با شهود مردم آن زمان مطابقت نداشت.
برگرفته از کتاب مقدمه‌ای بر اثبات نوشته علیرضا عین الهی عضو هیئت علمی دانشگاه فرهنگیان