تعریف در ریاضیات! آیا، تا به حال از خودتان پرسیده‌اید که «درست چیست؟» و «نادرست کدام است؟». ساده‌ترین پاسخ، این است که این واژه‌ها تعریف ندارند. از این موضوع تعجب نکنید. در هر علم، برخی واژه‌ها وجود دارند که هیچ‌گاه آن‌ها را تعریف نمی‌کنند و خیلی ساده آن‌ها را «تعریف نشده‌ها» یا «مفاهیم اولیه» می‌نامند.
علّت این امر روشن است. با اندکی تأمل در می‌یابید که اگر برای ایجاد یک علم بخواهیم شروع به تعریف تمام واژه‌ها کنیم، به فرهنگی نیازمند خواهیم بود که نمی‌توان ابتدا و انتهایی برای آن متصور شد.
مثلاً در هندسه اگر بخواهید خط را تعریف کنید، چه می‌کنید؟ از جمله‌ای برای تعریف خط استفاده می‌کنید. این جمله از کلماتی تشکیل شده که تحت کنترل یک دستور زبان خاص، مفهومی مانند خط را تعریف می‌نماید.
چرا نمی‌شود راجع به کلمات سازنده‌ی آن جمله سؤال کرد؟ اگر راجع به هر کدام‌شان سؤال کنید. می‌بینید که برای هر کدام باید تعریفی جدید ارائه دهید. خوب، تا کجا می‌توانید به این کار ادامه دهید؟!
بنابراین، می‌بینید که بعضی واژه‌ها را باید به شکل قراردادی قبول کرد و مفهوم آن را چیزی دانست که همگان بر آن اتفاق نظر دارند. کلمات درست و نادرست نیز به همین گونه‌اند. مثلاً فرض کنید که هم‌اکنون ساعت 12 ظهر است و کسی می‌گوید: «اکنون شب است». شما در مقام یک انسان عاقل، این جمله را با دانشی که بر کلمه‌ی شب و چگونگی آن دارید، نادرست می‌پندارید. همین و بس!
بسیاری از دانشجویان متوجه اهمیت نقش تعریف در ریاضی نیستند. این اهمیت تا حدودی از نیاز ریاضیدان‌ها به ارتباط با یکدیگر در رابطه با کارشان، ناشی می‌شود. دو شخص که می‌خواهند در باره‌ی چیزی صحبت کنند، اختلاف‌نظر آن‌ها در مورد اصطلاح معینی، می‌تواند به سوءتفاهم، دلخوری، برخورد و غیره منجر شود. یک قصاب را تصور کنید که با مشتری لجبازی مواجه شده باشد که اصرار دارد آن‌چه را که همه «راسته» می‌نامند، بخرد و آن را «فیله» بنامد.
متاسفانه به نظر نمی‌رسد که، حتی در علم دقیقی مثل ریاضیات، استاندارد کردن کامل کلمات، به صورت ایده‌آل میسر باشد. برای مثال، در ریاضیات وقتی صحبت از تابع می‌شود، ریاضیدانان مختلف برای واژه «دامنه» دو معنی متفاوت قائل می‌شوند.
در نتیجه، امروزه تلاش می‌شود از به‌کار بردن این کلمه‌ی ابهام‌آمیز اجتناب شود و تصویر یا حوزه‌ی مقادیر به جای آن به‌کار رود. در ریاضیات برای جلوگیری از ابهام باید تلاش شود!
توانایی در تنظیم تعاریف مفید – تعاریفی که ما را به نتیجه‌های جالبی هدایت می‌کند. – یکی از عناصر بسیار مهم خلاقیت ریاضی است. معمولاً در امتحانات شفاهی از دانشجویان و دانش‌پژوهان خواسته می‌شود که چندین تعریف را بیان کنند (به خصوص در سطح‌های بالا و بعد از دوره کارشناسی). اگر آن‌ها نتوانند معنی اصطلاحی را بیان کنند، احتمالاً نخواهند توانست به پرسش‌های مربوط به آن مفهوم هم پاسخ معقولی بدهند.
غالباً هر تعریف توسط رابط گزاره‌ای «اگر و تنها اگر » بیان می‌شود، هر چند که متداول است قسمتی از رابط گزاره‌ای آن، یعنی «تنها اگر» را پنهان سازند. از این رو می‌توان تعریف کرد که «یک مثلث متساوی‌الساقین است، اگر دو ضلع با طول مساوی داشته باشد.» و این واقعاً، به این معنی است که «یک مثلث متساوی‌الساقین است اگر و تنها اگر دو ضلع با طول مساوی داشته باشد.»
به این ترتیب نباید احساس کنید که شما مجبورید یک تعریف را کلمه به کلمه حفظ کنید. مسئله اساسی، درک مفهوم است تا بتوانید دقیقاً همان مفهوم را، با کلمات خودتان بیان کنید. بنابراین، تعریف «یک مثلث متساوی‌الساقین مثلثی است که دو ضلع متساوی داشته باشد» کاملاً صحیح است و تعریف «یک مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو زاویه‌ی متساوی داشته باشد» هم صحیح است. چون در تمام این تعریف‌ها دقیقاً یک نوع مثلث است که متساوی‌الساقین نامیده می‌شود. اصطلاحاً، می‌گویند دو تعریف «با هم معادل» هستند، به این مفهوم که از یکی می‌توان دیگری را نتیجه گرفت.
تعریف در ریاضیات
زمانی که یک مفهوم جدید تعریف شده باشد و از شما خواسته شود مطلبی را در باره‌ی آن مفهوم ثابت کنید. در چنین حالتی، شما باید آن تعریف را به عنوان بخش اصلی اثبات به‌کار بگیرید. در واقع، پس از آن که مفهومی تعریف شد، این تعریف تنها اطلاعاتی است که شخص در باره‌ی آن مفهوم در اختیار دارد.
