معرفی کتاب نظریه مقدماتی اعداد
کتاب نظریه مقدماتی اعداد، براساس سرفصل ارائه شده در برنامه درسی رشته آموزش ریاضی دانشگاه فرهنگیان[1]، یک درس نظری3 واحدی است، که باید در 48 ساعت (یعنی 16هفته) تدریس شود.
نظریه اعداد شاخهای از ریاضیات محض است که در مورد خواص اعداد صحیح بحث میکند و شامل مسایل بسیاری است که حتی غیر ریاضیدانان به راحتی آنها را متوجه میشوند. به طورکلی، این شاخه ریاضیات، مسائل مربوط به مطالعه اعداد صحیح را مطرح میکند.
درس نظریه اعداد به مطالعه ویژگیهای اعداد، به ویژه اعداد صحیح میپردازد و یکی از معدود درسهای ریاضی میباشد که دارای قدمت تاریخی بوده و با نیاز بشر به محاسبات و خواص اعداد متولد شده است. این درس، علاوه بر این که پیشنیازی برای ورود به مباحث دیگر ریاضی، مانند نظریههای تحلیلیاعداد، نظریههای جبریاعداد، نظریههای هندسی، ترکیبیاتی و محاسباتیاعداد میباشد، به گفته صاحب نظران از لحاظ تحریک کنجکاوی طبیعی آدمی در علوم ریاضی نقش موثری را بازی میکند.
درس نظریه اعداد به مطالعه ویژگیهای اعداد صحیح میپردازد. |
نظریه مقدماتیاعداد، اعداد صحیح را بدون توجه به تکنیکهای ریاضی به کار رفته در سایر شاخهها بررسی میکند. مسائل بخشپذیری، الگوریتماقلیدسی، محاسبهی بزرگترین شمارنده (مقسومعلیه) و کوچکترین مضرب مشترک دو عدد، تجزیهی اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد تام و همنهشتیها در این رده هستند.
برخی از یافتههای مهم نظریه اعداد، قضیهی کوچک فرما، قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجهدوم هستند. خواص توابع، مانند تابع موبیوس و تابع اویلر و همینطور دنبالهی اعداد صحیح، مانند فاکتوریلها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه بررسی میشوند .
حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد، بر خلاف ظاهر سادهِ آنها، نیازمند کوشش بسیار و به کار گرفتن روشهای نوین است. چند نمونه از آنها عبارتند از:
- حدس گلدباخدر مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول؛
- حدس کاتالاندر مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح؛
- حدس اعداد اول توأماندر مورد بینهایت بودن زوجهای اعداد اول؛
- حدس کولاتزدر مورد تکرار ساده؛
- حدس اعداد اول مرسندر مورد بینهایت بودن اعداد اول مرسن؛
- همچنین ثابت شده کهنظریه معادلات دیوفانتین تصمیمناپذیر است.
همانطور که اشاره شد، بعضی اوقات این درس به ظاهر ساده به نظر میرسد، ولی در خیلی از موارد در عمل چنین نیست و وقت زیادی را طلب میکند. برخی از مثالهای آن، که سدهها در معرض زورآزمایی فکری ریاضیدانان بودهاند، هنوز جزو غامضترین مثالهای حل نشده در کل ریاضیات به شمار میآید. از آنجا که به گفته بزرگان ریاضی، نمیتوان نظریه اعداد را بدون حل مسائل فراگرفت، توجه به حل مثال، اعم از مسائل محاسبهای و مسائل نظری و استدلالی ضروری است. تمرینات محاسبهای آن میزان درک مفاهیم را محک میزند و تمرینات استدلالی آن میتواند مهارت استدلال و اثبات را تقویت کند.
نقد و بررسیها
هنوز بررسیای ثبت نشده است.