اينبار در پژوهشگر برتر ميخواهيم در مورد آموزش بهتر فهميدن و بهتر برداشت كردن از تعريفات رياضي صحبت كنيم و اميدواريم كه بتوانيد نهايت استفاده را از اين مطلب به عمل بیاوردید.

با تشکر از استاد بزرگم جناب آقای عین الهی

برداشت از تعریف ریاضی به کمک نظر پنج دانشمند ریاضی

1. خداوند دائم به کار هندسه مشغول است . افلاطون
2. مقصود از هندسه زبان استدلال و منطق است و بنده امروز از آن به زبان خرد یاد می کنم . پروفسور فضل الله رضا
3. دکارت علم را اکتسابی می داند که کاملاً یقین و درست باشد و جای شک نسبت به آنها در ذهن حادث نشود و ریاضیات را تنها دانش کامل می داند و معتقد است که برای کشف مجهولات باید به همان روشی عمل کرد که ریاضیدانان پیش می روند ، یعنی بایستی همۀ علوم را با اصول ریاضی دنبال کرد و به عبارت دیگر بتوان سایر علوم را به اصول ریاضی درآورد . شیوۀ دکارت ، تبدیل قضایای مشکل به قضایای آسان و سپس تبدیل قضا یا به اصول است و … دکارت
4. ریاضیات عالی ترین دستاورد فکری و اصیل ترین ابداع ذهن آدمی در طول تاریخ است ، موسیقی می تواند روح را برانگیزد یا آرام سازد ، نقاش می تواند چشم نواز باشد ، شعر می تواند عواطف را تحریک کند ، فلسفه می تواند ذهن را قانع و خردمند سازد ، مهندسی می تواند زندگی مادی انسان را بهبود بخشد اما ریاضیات همۀ این ارزش ها را عرضه می دارد . موریس کراین
5. ریاضیات آرمی برای نمایش قدرت ذهن است . ویوس

هر انسانی زمانی که قسمتی از خود یا طبیعت را می شناسد به ظرافت و خلاقیت به کار برده شده در آنها اقرار می کند . و آنچه که به ریاضی و قوانین آن تعبیر می شود را نتیجۀ ساخت بشر نمی داند .

 دانشمندان همانطور که در پی چیستی مسألۀ خود اقدام می کنند در پی آمایش آن هم بر می آیند تا بتوانند قوانین و علت و معلول ها را بیابند . در همین راستا ابزارهای آزمایش را با مقیاسی مشخص برای خود به وجود می آورند و با آزمایش و خطا کار خود را پیش می برند تا به نتیجۀ منطقی و غیر قابل تغییربرسند . بنابراین دانشمندان در آغاز و پایان مسائل علمی خود به مفاهیم ، اصول علمی و قوانین دست می یابند و برای آن تعابیری در نظر می گیرند و برای پاسخ گویی به مسائل و پیشرفت در علم از آن استفاده می کنند .

دست یابی ، پیشرفت و کاربرد ریاضیات وابسته به هوش و تجربۀ افراد است ؛ اگرچه از انواع هوش ، هوش فضایی در هندسه ، خلاقیت و آفرینندگی نقش مؤثر دارد .

ارتباط آموزش ریاضیات با زندگی روزمره

آموزش ریاضی در دورۀ ابتدایی باید ملموس ، لذت بخش و عملیاتی باشد بنابراین ما مفاهیم کتب ریاضی را به صورت کاربردی و همراه با قصه و داستان های کوتاه ، فیلم ، پرسش و پاسخ  و بازی و ریاضی برای فهم بهتر بازگو می کنیم .

مفهوم مجموعه : قراردادن و دسته بندی اشیا در یک خط بسته برای دسترسی آسان و سریع مانند: مداد رنگی ها ، لوازم التحریر، لباس ها  ، میوه ، گل های باغچه ، حیوانات ، ابزارآلات و … و سپس اشکال هندسی مشابه یا همرنگ و …. راهی برای آشنایی این مفهوم است .

مفهوم تناظر یک  به یک : ابتدا خطوط اتصال برای ایجاد تناظر یک به یک را به منزلۀ یک پل برای دو مجموعه برای دانش آمزان تلقی می کنیم . مانند : اردک (یا هر حیوان دیگر) در یک مجموعه و لانه های آن در یک مجموعه ای دیگر . یا از تصاویری به شکل پازل (جورچین ) استفاده کرد .

مفهوم اصلی عدد : از آنجایی که آموزش این مفهوم با عدد 2 شروع می شود بنابراین ما به کشیدن اشکالی نظیر طناب که دو دسته دارد یا ، لبه های قیچی ، بال های پروانه (پرنده)، جوراب ، کفش ،اعضای بدن: چشم ها،گوش ها، پا ها ، دستان ، دوچرخه، عینک ،دسته های کیف کوله پشتی و … می پردازیم و بعد از قرار دادن آن ها در یک مجموعه عدد اصلی را برای آنها بازگو می کنیم .

مفهوم  ترتیبی عدد: برای آموزش این مفهوم می توانیم به جایگاه ورزشکاران در رشته های مختلف از جمله دو میدانی ، شنا ، تیراندازی و … اشاره کرد .

مفهوم نماد بیشتری ، کمتری و مساوی : برای اینکه دانش آموزان بفهمند که به طور مثال چهار بیشتر از سه است ؛ می آییم فرفرۀ چهار پر و سه پر درست می کنیم و چرخش سریع یا باد بیشتر تولید شده را مبنای بیشتر و ارزشمند ی عدد قرار می دهیم یا می توانیم : تعداد شاخه گل با میزان خوش بو بودن آن ، تعداد پرهای آرمیچر در یک قایق آبی با میزان سرعت آن ، تعداد لامپ با روشنایی تولید شده ، ساخت یک وسیله توسط تعداد اعضای متفاوت در یک گروه با سرعت انجام کار و …..

مفهوم جمع و تفریق 

پس از اینکه دانش آموزان «و»و «از» را به عنوان «+  و – » و «می شود» و «می ماند» را به عنوان = یادگرفتند ؛می توان از لوازم موجود در کلاس ، خود دانش آموزان و گیره و رخت آویز و دانه های تسبیح ، نی های نوشابه و …. استفاده نمایند .

برای جمع و تفریق اعداد چند رقمی با انتقال می توان از لیوان هایی با عنوان یکی ، ده تایی ، صدتایی و هزارتایی و واحد پول استفاده کرد . در آموزش تفریق تناظر یک به یک کاربرد فراوان دارد ؛ و بدین شکل با توجه به اشیاء باقیمانده تفریق را آموزش می دهیم .

 اما یک راه برای شیرین و جذاب تر شدن جمع و تفریق که خواص آن ها را در بر می گیرد استفاده از بازی و ریاضی است . مانند : برای هر میوه یک عدد انتخاب می کنیم و برای مجموعه ای از حرکات مشخص مانند : پاسخ سؤال ،نوشتن یک کلمه ، جفت پا پریدن ، لی لی کردن و … یک امتیاز خاص. حال شرکت کننده بدون گفتن میوۀ مورد علاقۀ خود حرکات را نمایش می دهد و ما هم باید با جمع اعدادی که برای هر حرکت مشخص کردیم میوۀ مورد علاقه او را حدس بزنیم .(حرکات نباید بیشتر یک بار انجام شود.) اگر شرکت کننده نتوانست حرکات را بدرستی اجرا کند عدد مربوط به آن از کل حرکات کم می شود ، ودر این حالت او برای اجرا یا حل آن اقدام می کند .

مفهوم ضرب: برای آموزش این مفهوم دسته هایی مساوی از اشیاء را در اختیار دانش آموزان می دهیم و از آنها می خواهیم تعداد هر دسته بشمارند . هنگامی که آنها به این نتیجه رسیدند که شمارش آنها مشکل و سخت گیر است آنها را با مفهوم ضرب آشنا می کنیم . علاوه بر دسته ها یکی شیوه های یادگیری ضرب های یک جمله ای استفاده از خطوط است ؛ بدین شکل که به طور مثال اگر ضرب 3*2 را داشته باشیم ؛ دو خط افقی و سه خط عمودی می کشیم و حال از دانش آموزان می خواهیم محل تلاقی خطوط که نقطه ها هستند را بشمارند ، که تعداد آنها برابر با حاصل ضرب است .

برای ضرب صفر در عدد می توان شیء های هر دسته یکی یکی برداریم و در هر مر حله ضرب را یادداشت کنیم .مانند :

12=4×3     9=3×3      6=2×3    3=1×3      0=0×3 

ضرب های دیگر با مختصر نویسی و قاعده گویی آموزش می دهیم.

مفهوم خط راست

برای آموزش آن می توان به دانش آموزان گفت : خط راست مانند مداد شما ، خطوط عابر پیاده ، ماکارانی نپخته ، و ….صاف و کشیده است و هیچ خمیدگی در آن دیده نمی شود .

مفهوم اشکال هندسی

برای آموزش این مفهوم از اشکال طبیعی استفاده می کنیم مثلاً : حلقه های المپیک به عنوان دایره ، یک قاش هندوانه به عنوان نیم دایره ، یک لیوان به عنوان استوانه ، سقف های شیروانی مربع یا مستطیل شکل و جعبۀ کبریت به عنوان مکعب ، یک توپ به عنوان کروی و علامت خطر به عنوان مثلث ، لانۀ زنبور به عنوان شش ضلعی ،برگ های درخت بیضی شکل ، کله قند یا یک حبه قند را به شکل مخروط در آوریم و برای سایر اشکال از مقوا و تصاویر استفاده می کنیم . اما نشان دادن تصاویر باید همراه با ویژگی های هر شکل باشد 

دایره 

پرتاب یک سنگ داخل استخر موج هایی دایره وار تشکیل می دهد . که فاصله نقاط روی یک موج تا مرکز در یک مکان خاص مساوی است .

نیم دایره

برای اینکه به بچه ها بفهمانیم که نیم دایره یک قطر دارد . از آنها می خواهیم یک دایره بکشند و قطر آن را رسم کنند  سپس از روی قطر دایره را برش دهند . و برای اینکه به آنها بفهمانیم نیم دایره یک قطر دارد بار دیگر از آنها می خواهیم یک قطر رسم کنند ؛ در این حالت اگر جواب آنها منفی بود ؛ ویژگی نیم دایره را بازگو می کنیم.  

مفهوم زاویه 

می توان این مفهوم را با ساخت اشکال متفاوت به وسیله اسباب بازی های مغناطیسی و یا مدل اتم ها و ترکیب شدن آنها به دانش آموزان فهماند .

در مورد آموزش زاویه می توان به بچه ها بگوییم برای رسم یک مستطیل یا یک مربع از کدام زاویه ها باید استفاده کنیم ؟ در این مرحله می توان کاربرد گونیا و نقاله را به دانش آموزان بگوییم . پس از آزمون و خطا می توان اضافه های دو زاویۀ متصل شده را پاک کرد یا آنها را امتداد داد .

مفهوم محیط 

یک قایق آبی را یک بار دریک ظرف دایره ای شکل و بار دیگر در یک ظرف دایره شکل با ابعاد بزرگتر یا کوچکتر قرار داده و در یک زمان مشخص از زاویه °0 در آب می گذاریم و تعداد دورهای هر قایق را تا اتمام زمان می شماریم . در این حالت مشاهده می کنیم تعداد دور های قایق در ظرف کوچکتر بیشتر از تعداد دورها در ظرف بزرگتر است ؟ بدین ترتیب محیط را برای دانش آمووزان شرح می دهیم .

مفهوم مساحت 

برای آموزش سطح می توانیم مقداری شیرینی بخریم و همراه با پودر کاکائو و نارگیل و … به سر کلاس برویم و از بچه ها بخواهیم مطابق با علاقۀ خود سطح شیرینی های خود را از کاکائو و نارگیل یا هر چیز دیگر بپو شانند و یا تزیین کنند . سپس از بچه ها بخواهیم شیرینی خود را در دفتر بکشند و سطح آن را اگر کاکائویی بود با رنگ قهوهای و اگر نارگیلی بود با رنگ نقره ای و ….. .

برای آموزش واحد اندازه گیری از بچه ها می خواهیم شیرینی هایی که به یک اندازه هستند را بین اعضای گروه های خود تقسیم کنند . بدین ترتیب از آنجایی که آنها از واحد سطح اطلاع ندارند ممکن است هر شیرینی را به تعداد غیر یکسان و متفاوت تقسیم کنند البته برای اینکه شیرینی از حالت عادی خود خارج نشود ابتدا از آنها می خواهیم شکل آن را تقسیم کنند . سپس به آنها می گوییم برای اینکه اعضای هر گروه به اندازۀ مساوی شیرینی دریافت کنند باید طول و عرض شیرینی را یک سانتی متر در  یک سانتی متر جدا کرده و آنها را به یکدیگر با خط کش وصل کنیم ؛ بدین ترتیب ما به مربع های کوچکی به ضلع یک سانتی متر در یک سانتی متر بر می خوریم .و آن را به عنوان واحد سطح با واحد سانتی متر مربع معرفی می کنیم .

کسراعشاری

برای فهم دقیق از اندازۀ یک باکتری در مقیاس بزرگتر می توان از این مفهوم استفاده کرد .

آموزش ریاضی در کدام دروس نقش مؤثرتری دارد؟

علوم تجربی و آزمایشگاه

با استفاده از مفهوم مجموعه در ریاضی توانایی گروه بندی و دسته بندی گل ها ، میوه و دانه ها ، محل زندگی جانوران و گیاهان ،پوشش بدن جانوران مواد براساس حالت : جامد ، مایع و گاز دبستان و تقسیم بندی جانوران بی مهره و مهره دار  را پیدا می کنند .

مفاهیم گنجایش ، کسر متعارفی و مغهوم اصلی و ترتیبی اعداد برای آموزش حجم

مفهوم جهت و بردار (محور اعداد)، خط راست و زاویه برای آموزش نیرو و مزیت سطح شیب دار ، نور و سایه ، طرز کار قطب نما و قبله نما

مفهوم اصلی و ترتیبی اعداد و جهات برای آموزش اندازه گیری دما به کمک دماسنج و جابجایی هوای سرد و گرم، انواع گیاهان براساس تعداد گلبرگ و اندازه گیری قد بدن و شمارش دندان ها ، اندازه گیری وزن (جرم)به کمک ترازو، تعداد قمرها و جایگاه  هر سیاره در منظومۀ شمسی ، تعداد روزهای ماه یا سال .

آشنایی با اشکال هندسی مانند : کره ، استوانه، دایره ، بیضی ، مستطیل ، شش ضلعی برای آموزش و آشنایی با کورۀ آفتابی ، چرخۀ آب ، چرخۀ زندگی کرم کدوی گاو ،آشنای با چرخش وضعی و انتقالی زمین ،  رسم نمودار دایره ای برای گروه بندی انواع موجودات ،صرفه جویی در کار و انرژی به دلیل اصطکاک کمتر ، اسکلت بدن از جمله دو سر استخوان ها و مفصل ها ،ساخت زیبابین که در آن تصویر یک شی به چندین تصویر به دلیل کنار هم گذاشتن سه آینۀ مستطیلی شکل  به وجود می آید ؛ گنجایش بیشتر عسل ، و آشنایی با ساختمان سلول

مفهوم تقارن خطی برای آموزش نور و بازتابش  

استفاده از مفهوم کسر اعشاری برای فهم ریز بودن اندازه یک باکتری یا سلول

ارتبط آموزش ریاضیات و مهارت های فرایند تفکر

در واقع آموزش ریاضیات بر پایۀ حل مسأله از چند مرحله تشکیل شده است . که ابتدا رویارویی دانش آموزان با یک مشکل و در مرحلۀ بعد تعریف و بیان مسأله است و این یک هدف برای درگیر کردن ، فعال کردن ، ایجاد مشارکت ، مشاهده کردن ، الگوبرداری کردن ، ایجاد انگیزه کردن و … برای ایجاد یادگیری پایدار در توان رفتاری توسط خود دانش آموز است . پس برای پیاده کردن این شیوه باید روش های دانش آموز – محور را متناسب با موضوعات درسی ، توانایی های ذهنی ، روش های آموختن ، سبک و سرعت یادگیری ، علاقه و انگیزش و انجام فعالیت های تحصیلی دانش آموزان در نظر بگیریم .

در مرحلۀ سوم فرایند تفکر نقش اساسی را ایفا می می کند چراکه کشف راه حل مسأله نیازمند تفکر است . اما برای اینکه ببینیم این تفکر چگونه است ؟ باید روش های راه حل مسأله را پیاده کنیم :

1. روش الگوریتم یا روش پیاپی : در این روش فرد به صورت گام به گام جلو می رود تا به هدف مورد نظر خود برسد .

2. روش اکتشافی : در این روش فرد راه حل های مختلفی را برای مسأله در نظر می گیرد .

3. روش تحلیل وسیله – هدف : در این روش ابتدا مسئله به تعدادی خرده هدف واسطه ای تقسیم می شود و بعد برای رسیدن به هر یک از خرده هدف ها وسیله ای مورد استفاده قرار می گیرد . در این روش به دو صورت مسئله حل می شود :

1- از ابتدا مسئله شروع می کند

2- از انتهای مسئله شروع کرده و برای رسیدن به عدف گام به گام به عقب برگشته .

4. روش استدلال قیاسی (تفکر قیاسی) : یادگیرنده از یک موقعیت مشابه با مسئله برای حل کردن آن استفاده می کند .

5. روش بارش مغزی : در این روش راه حل های مختلف ، متنوع و متفاوت برای حل کردن آن استفاده می شود . در این روش جواب های از قبل تعیین شده ای وجود ندارد ؛ بنابراین ارزشیابی صورت نمی گیرد چرا که ممکن است از خلاقیت دانش آموزان کاسته شود .

از بین روش های بالا روش های بارش مغزی و اکتشافی نیازمند تفکر واگرا است که در آن فرد از طریق تفکر جهت دار و خودگرا (رؤیا و غیر معمول )ممکن است به آفرینندگی یا خلاقیت برسند . و روش قیاسی از تفکر همگرا پیروی می کند . یعنی فرد براساس تجربیات و استدلال و منطق که برگرفته از نیروهای بیرونی است اقدام به کشف راه حل می کند . و روش های الگوریتم و تحلیل وسیله – هدف چون مسئله را به چند مسئلۀ فرعی تقسیم کردند ، در یک موقعیت از نیروی درونی (رؤیا) یا تفکر خود گرا  و در یک موقعیت نیاز به استدلال و منطق که برگرفته از تجربه است ؛ استفاده می کنند.

مرحلۀ چهارم عمل کردن بر روی راه حل های کشف شده در رياضي

در این مرحله فرد راه حل مورد نظر را به صورت عملی اجرا و نتایج را پیش بینی می کند . و از طریق تفکر انتقادی که از نوع تفکر جهت دار است بر تفکرات خود گرا (که جنبۀ شخصی دارد) غلبه کرده و اقدام به تصمیم گیری و پیش بینی می کند .

مرحلۀ پنجم وارسی و ارزشیابی نتایج : در این مرحله فرد با نگاه به عقب نتایج حاصل را ارزشیابی   می کند و فرد را در رد یا قبول راه حل راهنمایی می کند . در این مرحله فرد با یک تفکر انتقادی به نتایج خود نگاه می کند . در این تفکر فرد کلیۀ نظرات ، اندیشه ها و اعتقادات مختلفی که با آنها روبه رو است را می شنود ، ارزشیابی و تحلیل می کند و تصمیمی منطقی می گیرد .